L'ordre des facteurs modifie parfois le produit

Quand nous étudions dans le collège la propriété commutative du produit ou de la somme ils nous ont mis à un feu l'expression fameuse “l'ordre des facteurs ne modifie pas le produit” qui s'est mis à être tout de suite partie de la culture populaire et qui est utilisé dans beaucoup de contextes éloignés de la science. L'intention de cette entrée qui correspond à ma participation dans le Deuxième Carnaval de Mathématiques logé à cette occasion dans le blog de Juan de Mairena [v.2.71828].

Soyez “” une opération entre deux éléments “” et “” appartenant à l'ensemble “” dans celui que l'on peut définir l'opération précitée, alors nous dirons que l'opération est commutative quand. On peut écrire que si alors il est commutatif, et s'il n'est pas égal à un zéro, il le n'est pas. Parfois le signe est omis et il est sous-entendu de quelle opération il se fréquente selon le contexte (c'est normalement le produit ou la composition).

Si l'opération est la somme et l'ensemble ce sont les nombres naturels, nous avons le conmutatividad de la somme envers celle que nous nous habituons. De la même manière, si l'opération est le produit et l'ensemble ce sont les nombres entiers (un natifs positifs, négatifs et le zéro) alors nous avons le conmutatividad du produit.

Quelques exemples dans les mathématiques. En dehors de la soustraction et de la division que nous savons déjà qu'elles ne sont pas commutatives, nous avons par exemple qui si la somme est des éléments infinis n'a pas pourquoi être commutative.

Par exemple :

,

tandis que

(sumación de Cesàro ou de série de Grandi).

Le produit de matrices n'est pas non plus commutatif.

Des exemples dans la vie quotidienne de non conmutatividad nous pouvons nous trouver partout. Par exemple après avoir donné des indications dans la rue. Ce n'est pas le même : il tourne à la droite, tout de suite à la gauche, tout de suite à la droite qui tourne à la droite, tourne à la droite et tout de suite à la gauche (rappelons que nous parlons des opérations binaires, entre deux éléments). Si vous avez essayé de résoudre un cube de Rubik avant d'arracher les adhésifs pour recommencer à le placer ou à le laisser abandonné plongés dans une frustration immense, vous saurez que les rotations de ses couronnes ne sont pas commutatives.

Toute personne qui a essayé une fois de cuisiner quelque chose sait que, en général, les recettes de cuisine ne sont pas commutatives et que le résultat de casser un oeuf et de le jeter à la poêle a l'habitude d'être différent de jeter l'oeuf à la poêle et tout de suite de le casser. De la même façon, notre intégrité remerciera pour nous avec beaucoup d'années de vie si nous évitons de confondre le fait d'attendre que le sémaphore est dans une verdure et de croiser que croiser et attendre que le sémaphore se met dans une verdure. Et des exemples moins dangereux : laver les vêtements et tout de suite la repasser. Tirer de la chaîne après avoir fait un pipi. Se laver les dents après avoir mangé. Ouvrir la porte avant d'entrer.

Le champ de la science où le non conmutatividad est fondamental est chez la mécanicienne quantique, dans laquelle les opérateurs ne sont pas commutatifs. Et ce fait est si important qu'il donne lieu au début d'une incertitude. Il est important de signaler cela parce que contre ce que beaucoup de gens croient, le principe d'incertitude de Heisenberg naît comme un résultat théorique. Heisenberg voulait formuler la mécanique quantique en utilisant des matrices, et les matrices ne commuent pas.

En fait les commutateurs sont définis et dans le cas du principe d'incertitude il est usuellement défini avec la position et le moment. On a l'habitude de dire

On ne peut pas simultanément mesurer et avec une précision infinie la position et le moment d'une particule.

L'erreur on a l'habitude de trouver normalement l'écrit comme que dans la position () et l'erreur dans le moment () doit être plus grande que la constante de Planck divisée par 2 :

Cela s'écrit dans un commutateur comme et sert comme définition à toute paire de variables canoniques conjuguées entre soi. Cela n'arrive pas dans la Physique Classique, dans laquelle la grandeur observable commue entre soi.

Plus de variables conjuguées sont Énergie et le Temps, Temps et Fréquence, l'Angle et le Moment Angulaire … De la relation entre une énergie et un temps surgit le principe d'incertitude dans la version qui explique et permet l'existence de particules virtuelles. On peut "voler" une certaine quantité d'énergie E chaque fois qu'il revient dans un temps tel qui accomplit la relation précédente. Et si le temps passe et il n'est pas revenu quelqu'un doit payer la dette énergétique (voir la Radiation de Hawking).

Comme nous voyons, le non conmutatividad est plus commun qu'il paraît. Dès que vous savez déjà. La prochaine fois qu'ils vous disent que l'ordre des facteurs ne modifie pas le produit, prévenez l'imprudent auquel il fait l'attention quand il voudra croiser la rue ou frire un oeuf.

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